為適應消防、生產和生活需要，人們對供水系統(tǒng)的可靠性提出了越來越高的要求。在確定供水系統(tǒng)組件(設備或管道)的數(shù)量和規(guī)格及配置方式時，既要考慮對可靠性的總體要求，又要遵守最小費用原則；另一方面，當預算費用給定時，又要求我們設計出最可靠的配置方案。定量地分析研究這一過程將會使供水系統(tǒng)的設計與計算更科學、更合理。
1 對供水子系統(tǒng)可靠性的要求
可靠性是指系統(tǒng)連續(xù)運轉一定時間(t)不發(fā)生故障的可能性(概率)，通常用可靠度R(t)作為它的量化指標。有時用在單位時間內系統(tǒng)發(fā)生故障的平均次數(shù)(λ)表示系統(tǒng)的可靠性。組件有效工作期內故障率λ是一個常數(shù)，它與可靠度的關系為：
R(t)＝e-λt (1)
供水系統(tǒng)是由水源、取水和凈水構筑物、加壓泵站和輸水管線等許多子系統(tǒng)組成的，若以R( t)代表總系統(tǒng)的可靠度，n代表子系統(tǒng)的總數(shù)，R1、R2、…、Rn分別代表各子系統(tǒng)的可靠度，則有：
R(t)＝R1R2…Rn (2)
由此可見，任一子系統(tǒng)可靠性的明顯降低都會導致整個系統(tǒng)可靠性的顯著下降。為避免這種情況，在設計時應盡可能使各子系統(tǒng)的可靠度相等(換句話說，就是要盡可能使各子系統(tǒng)發(fā)生故障的平均時間間隔相等)。根據(jù)工程的需要，各子系統(tǒng)的可靠度可以有一定的差別，但其乘積必須滿足總可靠度的要求。在計算子系統(tǒng)的可靠度時，首先要考慮工程上的各種特殊情況，例如當水源只有一個時，水源系統(tǒng)的可靠度就很難改變，就不能按式(2)確定或作為計算的基礎。假定R1、R2…、Rk因特殊原因在設計時不能改變或不必改變，其他子系統(tǒng)的可靠度Rk+1、Rk+2、…、Rn顯然應滿足系統(tǒng)總可靠度的要求，所以：
顯然特殊子系統(tǒng)因在設計時不能改變，所以其費用也是一個固定數(shù)，只要可變更的子系統(tǒng)取得最小費用時，總系統(tǒng)必定取得最小費用。
2 單個子系統(tǒng)各參數(shù)的初步計算
設子系統(tǒng)是由m個組件并聯(lián)構成(此處是指物理意義上的并聯(lián))，并且假定同類組件的可靠度都相等，則可按組件的可靠度(r)推算子系統(tǒng)的可靠度(R)。
當所有組件同時工作才能滿足總流量要求(即無儲備組件)時，根據(jù)概率的乘法原理：
R＝rm (6)
為提高系統(tǒng)的可靠度有時必須儲備1個或多個組件，它既可以顯著提高可靠度又不至于使組 件 的購置費用增加太多。當有(m-1)個組件同時工作能夠滿足總流量要求，另有1個組件備用時，根據(jù)全概率定理，供水系統(tǒng)的子系統(tǒng)可靠度的計算公式為：
R＝mrm-1-(m-1)rm (7)
式(6)、(7)是計算子系統(tǒng)可靠度的基本公式。
當總系統(tǒng)要求的流量為Q，對于無儲備的子系統(tǒng)，單個組件的流量q′必須滿足下式：
q′≥Q/m (8)
對于儲備1個組件的子系統(tǒng)，單個組件的流量必須滿足下式：
q′≥Q/(m-1) (9)
組件的流量是按照組件的規(guī)格系列有級排列的，因此應在其規(guī)格系列中取滿足式(8)、(9)的 最小值作為組件流量的設計值q，并且相應于該流量的組件規(guī)格S也隨之確定下來，同時還可以根據(jù)組件的價格表確定該規(guī)格組件的價格c，再由此推算出該子系統(tǒng)的價格C為：
C＝mc (10)
綜上所述，只要給定組件數(shù)量m和配置方式，就可以確定該子系統(tǒng)組件的流量q、組件規(guī)格S 及該子系統(tǒng)的可靠度R和價格C。至于m可能的取值范圍，m顯然是正整數(shù)，m值越大，不論子系統(tǒng)有無儲備，可靠度都會越來越小。m值還須滿足式(6)、(7)的要求，因此必定存在一個 最大值M，它就是組件數(shù)m的最大值。在供水系統(tǒng)中，同一子系統(tǒng)的組件數(shù)超過5的情況是極少見的。組件數(shù)m越小，子系統(tǒng)的可靠度就越大，但是子系統(tǒng)的價格卻有可能增加，例如2個大組件可能比3個小組件更昂貴。
3 確定組件的最終配置方案
各子系統(tǒng)的最小費用之和不一定是總系統(tǒng)費用的最小值，這是因為組件的數(shù)量和規(guī)格是按流 量要求計算設計的，可靠度不一定達到要求；即使可靠度滿足要求，費用昂貴的子系統(tǒng)其可靠度降低少許，可能會導致總系統(tǒng)費用的明顯下降，而總系統(tǒng)的可靠度可以由提高價格便宜 的子系統(tǒng)的可靠度來補償，費用卻有可能增加很少。因此可以把各子系統(tǒng)的最小費用和相應的可靠度作為基礎，進行逐步調整。為便于逐步調整，首先從全部(n個)子系統(tǒng)中排除特殊 子系統(tǒng)(n-N個)，對于剩余可調整配置方式的N個子系統(tǒng)所有可能的組件數(shù)m和組件配置方 式及相應的組件規(guī)格S，分別計算出各子系統(tǒng)的可靠度R和價格C(并篩選出最低費用Cimin、與Cimin對應組件的規(guī)格SiCmin和子系統(tǒng)的可靠度RiCmin作為初步方案值)列入表1中，并簡稱為“SCR表”。SCR表十分重要，因為它把子系統(tǒng) 所有可能的組件配置方案的全部特征一清二楚地排列出來，不僅當可靠度給定時可以方便地求出費用最小的配置方案，而且當預算給定時可以方便地求出可靠度最高的配置方案，非常清楚實用。
表1 不同配置方案時組件規(guī)格
各子系統(tǒng)費用與可靠度數(shù)值對照表（SCR表）
組件配置方案 子系統(tǒng)1 子系統(tǒng)2 子系統(tǒng)3
組件數(shù) 配置方式 規(guī)格 費用 可靠度 規(guī)格 費用 可靠度 規(guī)格 費用 可靠度
1 只用1件 S111 C111 R111 S211 C211 R211 SN11 CN11 RN11
2 2件全用 S121 C121 R121 S221 C221 R221 SN21 CN21 RN21
1用1備 S122 C122 R122 S222 C222 R222 SN22 CN22 RN22
3 3件全用 S131 C131 R131 S231 C231 R231 SN31 CN31 RN31
2用1備 S132 C132 R132 S232 C232 R232 SN32 CN32 RN32
M M件全用 S1M1 C1M1 R1M1 S2M1 C2M1 R2M1 SNM1 CNM1 RNM1
備用1件 S1M2 C1M2 R1M2 S2M2 C2M2 R2M2 SNM2 CNM2 RNM2
初步方案 S1cmin C1min R1cmin S2cmin C2min R2Cmin SNcmin CNmin RNCmin
表中：
Sijk是組件流量系列中滿足供水系統(tǒng)流量要求的最小規(guī)格(i＝1，2，…，N；j＝1，2 ，…，M；k＝1，2)。Cijk和Rijk是同一配置方式下與Sijk對應的費用和可靠度。
Cimin＝min｛Ci11，Ci21，Ci22，Ci31，Ci32，……，CiM1，CiM2｝(i＝1，2，…，N)
RiCmin是子系統(tǒng)費用為Cimin時該子系統(tǒng)配置方案所對應的可靠度(i＝1，2，…，N)。
SiCmin是子系統(tǒng)費用為Cimin時該子系統(tǒng)配置方案所對應組件的規(guī)格(i＝1，2，…，N)。
SCR表中對應于Cimin(i＝1，2，…，N)的組件配置方案就是初步方案，此時表中各子系統(tǒng)的總費用Ct和可靠度Rt的計算公式分別為：
初步方案不一定是最小費用方案，且可靠度也不一定滿足要求，必須按式(12)作進一步調整 ，最終以選定的配置按式(13)、(14)計算總費用和可靠度。調整的方法是：適當降低費用昂貴的子系統(tǒng)可靠度(從SCR表中選取)，按式(12)驗算是否滿足要求，如不滿足要求，則 提高費用較小的子系統(tǒng)可靠度(也從表中選取)，給予補償；若難以滿足可靠性要求，就需要提高費用昂貴的子系統(tǒng)的可靠度，再逐步調整其他子系統(tǒng)的可靠度，直到可靠度剛好達到 要求或稍微超出一些為止。對于預算費用已給定，要求設計最可靠配置方案的情況，調整方法與上述過程相似。由于已有直觀的SCR表的協(xié)助，實際調整過程相當簡單。
4 計算示例
示例一 編制一個供水系統(tǒng)設備和管道的最佳配置方案(要求確定設備和管道的規(guī)格、數(shù)量 與配置方式)，并初估設備和管道的最小購置費用預算。供水系統(tǒng)的流量為100 m3/h，要 求每月發(fā)生缺少備件故障的平均次數(shù)不超過0.4，其他已知事項見表2。
表2 某供水系統(tǒng)可選用組件基本情況 組件名稱 規(guī)格 流量q
(m3/h) 單價c
（萬元/件） 故障率λ
（次/月） 對應于λ的可靠度 備注
取水裝置 第1種 100 5 0.12 0.887 因環(huán)境限制最多只能安裝2套
第2種 50 3
第3種 35 2
一體化凈水設備 第1種 100 30 0.30 0.741
第2種 50 16
加壓水泵 第1種 100 1.6 0.08 0.923
第2種 50 1.0
第3種 35 0.8
第4種 25 0.6
輸水管道 第1種 100 10 0.015 0.985
第2種 50 7
首先根據(jù)式(1)計算系統(tǒng)運轉一個月的可靠度為：
R(t)＝e-0.4×１＝0.670
輸水管道的可靠度非常高，顯而易見只用一條第1種規(guī)格的管道最經濟，因此不必考慮輸水 系統(tǒng)管道數(shù)的變化問題，這樣系統(tǒng)對其他3個子系統(tǒng)可靠度的要求為：
Rt＝R(t)/0.985＝0.680
按式(6)、(7)和(10)列出有關子系統(tǒng)的SCR數(shù)值對照表(見表3)。
表3 某供水系統(tǒng)組件各種配置方案下的SCR表 配置方案 取水系統(tǒng) 凈水系統(tǒng) 加壓系統(tǒng)
組件數(shù) 配置方式 規(guī)格 費用 可靠度 規(guī)格 費用 可靠度 規(guī)格 費用 可靠度
1 只用1件 1 5 0.887 1 30 0.741 1 1.6 0.923
2 2件全用 2 6 0.787 2 32 0.549 2 2.0 0.852
1用1備 1 10 0.987 1 60 0.933 1 3.2 0.994
3 3件全用 3 2.4 0.786
2用1備 2 48 0.834 2 3.0 0.983
4 4件全用 4 2.4 0.726
3用1備 3 3.2 0.968
5 5件全用
4用1備 4 3.0 0.949
初步方案 1 5 0.887 1 30 0.741 1 1.6 0.923
對于初步方案：
Ct＝5+30+1.6＝36.6萬元
Rt＝0.887×0.741×0.923＝0.607＜0.680
可靠度不夠，需要調整。雖然凈水設備可靠度最低，但是價格昂貴，作任何調整都會使費用大幅度上升，所以先考慮最便宜的加壓水泵。選2用1備方式第2種規(guī)格的水泵系統(tǒng)(可靠度上升到0.983，費用上升到3.0萬元，費用上升幅度最小)，此時：
Rt＝0.887×0.741×0.983＝0.646＜0.680
可靠度仍然不夠，考慮調整取水系統(tǒng)配置方式。因環(huán)境限制只能選1用1備方式第1種規(guī)格的 取水裝置(可靠度上升到0.987，費用上升到10萬元)，此時：
Rt＝0.987×0.741×0.983＝0.719＞0.680
Ct＝10+30+3＝43萬元
可靠度已達到要求。現(xiàn)在驗算一下加壓系統(tǒng)改用首選方案的情況，看費用能否降低。
Rt＝0.987×0.741×0.923＝0.675＜0.680
可靠度不夠，仍選用上述方案。連輸水系統(tǒng)包括在內，最終方案總系統(tǒng)的可靠度、缺少備件 故障率和設備及管道的購置預算為：
R(t)＝0.719×0.985＝0.708
λ=-lnR(t)/t=-ln0.708=0.35次/月
CT＝43+10＝53萬元
計算確定的方案是，應使用第1種規(guī)格取水裝置2套(1備1用)，使用第1種規(guī)格凈水設備1套， 使用第2種規(guī)格加壓水泵3臺(2用1備)，使用第1種規(guī)格輸水管道1套；供水系統(tǒng)平均故障率為 0.35次/月(平均86 d出現(xiàn)缺備件故障1次)；設備及管道購置預算約53萬元。
示例二 在上例中，若給定設備與管道的預算為67萬元，問怎樣設計設備與管道的配置方案 才能使供水系統(tǒng)最可靠?可靠度是多少?
因輸水管道的可靠度非常高，仍確定使用第1種規(guī)格的管道1條(因此其他子系統(tǒng)的預算為67- 10＝57萬元)。
在上例的初步方案中，凈水系統(tǒng)的可靠度太低，為提高可靠度只能選用SCR表中第2種規(guī)格的 凈水設備3套(2用1備，此時可靠度增加到0.834，費用增加到48萬元)，因此：
Ct＝5+48+1.6＝54.6萬元
Rt＝0.887×0.834×0.923＝0.683
未超預算，從SCR表容易觀察到，選用第1種規(guī)格的加壓水泵2臺(1用1備)最合理(此時費用增加到3.2萬元，可靠度增加到0.994)，所以：
Ct＝5+48+3.2＝56.2萬元
Rt＝0.887×0.834×0.994＝0.735
可以驗證這就是最終方案。因此整個供水系統(tǒng)的可靠度、缺少備件的故障率及總費用分別為 ：
R(t)＝Rt×0.985＝0.724
λ＝lnR(t)/t=-ln0.724/1=0.323
CT＝Ct+10＝56.2+10＝66.2萬元
結論：計算確定的方案是，應使用第1種取水裝置1套，使用第2種凈水裝置3套(2用1備)，使用第1種規(guī)格加壓水泵2臺(1用1備)，使用第1種規(guī)格輸水管道1套；供水系統(tǒng)月可靠度為0.724，平均缺備件故障率為0.323次/月(平均93 d出現(xiàn)缺備件故障1次)。
由以上計算可以看出，預算費用的大幅度提高并不導致可靠性顯著上升，這就為合理地制定預算提供了理論依據(jù)；但是對于特殊系統(tǒng)，如消防系統(tǒng)或偏遠地區(qū)的國防系統(tǒng)，因備件維修速度相對太慢，考慮供水系統(tǒng)的可靠性就成了非常重要的現(xiàn)實問題。
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